【分部积分法的公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解两个函数乘积的积分。它基于乘积法则的逆运算，类似于微分中的“导数的乘积法则”。通过合理选择被积函数中的两个部分，可以将复杂的积分问题转化为较易处理的形式。
一、分部积分法的基本公式
分部积分法的核心公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是另一个可微函数的微分；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数。
该公式适用于当直接积分较为困难时，通过拆分被积函数为两部分，使得新积分更容易计算。
二、使用步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 选择被积函数 $ f(x) $，将其拆分为 $ u $ 和 $ dv $ 两部分。通常选择容易求导的作为 $ u $，容易积分的作为 $ dv $。 |
| 2 | 对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。 |
| 3 | 将 $ u $、$ v $、$ du $ 代入公式：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $。 |
| 4 | 计算新的积分 $ \int v \, du $，若仍复杂，可能需要再次使用分部积分法。 |
三、典型应用举例
| 示例 | 被积函数 | 选择 $ u $ 和 $ dv $ | 计算过程 |
| 1 | $ \int x e^x dx $ | $ u = x $, $ dv = e^x dx $ | $ du = dx $, $ v = e^x $；结果为 $ xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $ |
| 2 | $ \int x \cos x dx $ | $ u = x $, $ dv = \cos x dx $ | $ du = dx $, $ v = \sin x $；结果为 $ x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C $ |
| 3 | $ \int \ln x \, dx $ | $ u = \ln x $, $ dv = dx $ | $ du = \frac{1}{x} dx $, $ v = x $；结果为 $ x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C $ |
四、注意事项
- 分部积分法并非总是有效，有时会导致更复杂的积分；
- 若第一次选择不当，可尝试交换 $ u $ 和 $ dv $ 的角色；
- 在某些情况下，可能需要多次应用分部积分法才能得到最终结果。
五、总结
分部积分法是微积分中非常实用的工具，尤其适用于处理多项式与指数函数、三角函数或对数函数的乘积。掌握其基本公式和应用技巧，有助于提高积分运算的效率和准确性。通过合理的 $ u $ 和 $ dv $ 选择，可以简化原本复杂的积分问题，使求解过程更加清晰明了。