【等比数列的通项求和公式是怎样的】等比数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数学、物理、金融等领域。理解其通项公式和求和公式对于掌握数列的基本性质至关重要。以下是对等比数列的通项公式与求和公式的总结。
一、等比数列的定义
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为公比，记作 q。
例如：
1, 2, 4, 8, 16,... 是一个等比数列，其中首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = 2 $。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 $ n $ 项（即通项）可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数（正整数）。
三、等比数列的求和公式
等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 可以用以下公式计算：
当 $ q \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{或} \quad S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
因为当公比为1时，所有项都等于首项，因此总和就是首项乘以项数。
四、总结表格
| 内容 | 公式 |
| 等比数列通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 前 $ n $ 项和公式（$ q \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和公式（$ q = 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot n $ |
五、实际应用举例
假设有一个等比数列，首项为3，公比为2，求前5项的和：
- 通项公式：$ a_n = 3 \cdot 2^{n-1} $
- 前5项为：3, 6, 12, 24, 48
- 求和公式：$ S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93 $
通过以上内容可以看出，等比数列的通项和求和公式是理解和应用该类数列的基础工具，掌握这些公式有助于解决实际问题。