【三角函数的公式】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它主要研究角度与边长之间的关系，常用的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 符号 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ | a/c |
| 余弦 | cosθ | b/c |
| 正切 | tanθ | a/b |
| 余切 | cotθ | b/a |
| 正割 | secθ | c/b |
| 余割 | cscθ | c/a |
二、常用恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 余切与正切关系 | $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 $, $ \sec\theta \cdot \cos\theta = 1 $, $ \csc\theta \cdot \sin\theta = 1 $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 对应三角函数值变化 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差 | $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ |
| $ \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] $ | |
| $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $ | |
| $ \sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)] $ | |
| 和差化积 | $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
| $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | |
| $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | |
| $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
通过掌握这些三角函数的基本公式和恒等式，可以更方便地进行三角函数的计算和推导，适用于解题、建模及实际问题的分析。在学习过程中，建议结合图形理解函数的变化规律，并通过练习不断巩固记忆。